3.1228 \(\int \frac{1}{(a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx\)

Optimal. Leaf size=457 \[ \frac{d \left (-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )+2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3+b^3 \left (-\left (6 c^2 d^2+c^4+3 d^4\right )\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^3 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 f \left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d)^2 (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{d^3 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )-2 a b c d \left (5 c^2+d^2\right )+b^2 \left (9 c^2 d^2+10 c^4+3 d^4\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^3 (b c-a d)^4}-\frac{x \left (a^2 \left (-\left (c^3-3 c d^2\right )\right )+a b \left (6 c^2 d-2 d^3\right )+b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{b^2}{f \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{b^4 \left (-5 a^2 d+2 a b c-3 b^2 d\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{f \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4} \]

[Out]

-(((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2) + a*b*(6*c^2*d - 2*d^3))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3)) + (b^
4*(2*a*b*c - 5*a^2*d - 3*b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (d^3*(
a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) - 2*a*b*c*d*(5*c^2 + d^2) + b^2*(10*c^4 + 9*c^2*d^2 + 3*d^4))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin
[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2)))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2
*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*
x])^2) + (d*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4)))/((a^2 +
b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.87499, antiderivative size = 457, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 4, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.16, Rules used = {3569, 3649, 3651, 3530} \[ \frac{d \left (-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )+2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3+b^3 \left (-\left (6 c^2 d^2+c^4+3 d^4\right )\right )\right )}{f \left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )^2 (b c-a d)^3 (c+d \tan (e+f x))}-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 f \left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right ) (b c-a d)^2 (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{d^3 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )-2 a b c d \left (5 c^2+d^2\right )+b^2 \left (9 c^2 d^2+10 c^4+3 d^4\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{f \left (c^2+d^2\right )^3 (b c-a d)^4}-\frac{x \left (a^2 \left (-\left (c^3-3 c d^2\right )\right )+a b \left (6 c^2 d-2 d^3\right )+b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{b^2}{f \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{b^4 \left (-5 a^2 d+2 a b c-3 b^2 d\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{f \left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

-(((b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2) + a*b*(6*c^2*d - 2*d^3))*x)/((a^2 + b^2)^2*(c^2 + d^2)^3)) + (b^
4*(2*a*b*c - 5*a^2*d - 3*b^2*d)*Log[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*(b*c - a*d)^4*f) + (d^3*(
a^2*d^2*(3*c^2 - d^2) - 2*a*b*c*d*(5*c^2 + d^2) + b^2*(10*c^4 + 9*c^2*d^2 + 3*d^4))*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin
[e + f*x]])/((b*c - a*d)^4*(c^2 + d^2)^3*f) - (d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2)))/(2*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)^2
*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*
x])^2) + (d*(2*a^3*c*d^3 + 2*a*b^2*c*d^3 - 2*a^2*b*d^2*(2*c^2 + d^2) - b^3*(c^4 + 6*c^2*d^2 + 3*d^4)))/((a^2 +
b^2)*(b*c - a*d)^3*(c^2 + d^2)^2*f*(c + d*Tan[e + f*x]))

Rule 3569

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[(b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), x] + D
ist[1/((m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*(b*c -
a*d)*(m + 1) - b^2*d*(m + n + 2) - b*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b^2*d*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && I
ntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1] && (LtQ[n, 0] || IntegerQ[m]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] &&
NeQ[a, 0])))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3651

Int[((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/(((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)
*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Simp[((a*(A*c - c*C + B*d) + b*(B*c - A*d + C*d
))*x)/((a^2 + b^2)*(c^2 + d^2)), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/((b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(b - a*Tan[
e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(c^2*C - B*c*d + A*d^2)/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)), Int[(d - c*Ta
n[e + f*x])/(c + d*Tan[e + f*x]), x], x]) /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ
[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 3530

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c*Log[Re
moveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]])/(b*f), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{1}{(a+b \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx &=-\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{-a b c+a^2 d+3 b^2 d+b (b c-a d) \tan (e+f x)+3 b^2 d \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^3} \, dx}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{\int \frac{2 \left (a b d^2 (2 b c+a d)+\frac{1}{2} \left (a b c-a^2 d-3 b^2 d\right ) \left (2 a c d-2 b \left (c^2+d^2\right )\right )\right )+2 (b c-a d)^2 (b c+a d) \tan (e+f x)+2 b d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right )}\\ &=-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{d \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{\int \frac{2 \left (a^4 d^3 \left (c^2-d^2\right )+3 b^4 d \left (c^2+d^2\right )^2-a^3 b c d^2 \left (3 c^2+d^2\right )-a b^3 c \left (c^4+5 c^2 d^2+2 d^4\right )+a^2 b^2 d \left (3 c^4+7 c^2 d^2+2 d^4\right )\right )+2 (b c-a d)^3 \left (2 a c d+b \left (c^2-d^2\right )\right ) \tan (e+f x)-2 b d \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right ) \tan ^2(e+f x)}{(a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))} \, dx}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2}\\ &=-\frac{\left (b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-a^2 \left (c^3-3 c d^2\right )+a b \left (6 c^2 d-2 d^3\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{d \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}+\frac{\left (b^4 \left (2 a b c-5 a^2 d-3 b^2 d\right )\right ) \int \frac{b-a \tan (e+f x)}{a+b \tan (e+f x)} \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4}+\frac{\left (d^3 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )-2 a b c d \left (5 c^2+d^2\right )+b^2 \left (10 c^4+9 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )\right ) \int \frac{d-c \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3}\\ &=-\frac{\left (b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )-a^2 \left (c^3-3 c d^2\right )+a b \left (6 c^2 d-2 d^3\right )\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2 \left (c^2+d^2\right )^3}+\frac{b^4 \left (2 a b c-5 a^2 d-3 b^2 d\right ) \log (a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b c-a d)^4 f}+\frac{d^3 \left (a^2 d^2 \left (3 c^2-d^2\right )-2 a b c d \left (5 c^2+d^2\right )+b^2 \left (10 c^4+9 c^2 d^2+3 d^4\right )\right ) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{(b c-a d)^4 \left (c^2+d^2\right )^3 f}-\frac{d \left (a^2 d^2+b^2 \left (2 c^2+3 d^2\right )\right )}{2 \left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}+\frac{d \left (2 a^3 c d^3+2 a b^2 c d^3-2 a^2 b d^2 \left (2 c^2+d^2\right )-b^3 \left (c^4+6 c^2 d^2+3 d^4\right )\right )}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)^3 \left (c^2+d^2\right )^2 f (c+d \tan (e+f x))}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.24432, size = 833, normalized size = 1.82 \[ -\frac{b^2}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d) f (a+b \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{-\frac{d^2 \left (d a^2-b c a+3 b^2 d\right )-c \left (b d (b c-a d)-3 b^2 c d\right )}{2 (a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))^2}-\frac{-\frac{2 d^2 \left (a b (2 b c+a d) d^2+\frac{1}{2} \left (-d a^2+b c a-3 b^2 d\right ) \left (2 a c d-2 b \left (c^2+d^2\right )\right )\right )-c \left (2 d (b c-a d)^2 (b c+a d)-2 b c d \left (\left (2 c^2+3 d^2\right ) b^2+a^2 d^2\right )\right )}{(a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f (c+d \tan (e+f x))}-\frac{-\frac{2 \left (-5 d a^2+2 b c a-3 b^2 d\right ) \left (c^2+d^2\right )^2 \log (a+b \tan (e+f x)) b^5}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a b c^3+3 a^2 d c^2-3 b^2 d c^2-6 a b d^2 c-a^2 d^3+b^2 d^3+\frac{b \left (-\left (c^3-3 c d^2\right ) a^2+b \left (6 c^2 d-2 d^3\right ) a+b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{\sqrt{-b^2}}\right ) \log \left (\sqrt{-b^2}-b \tan (e+f x)\right ) b}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )}+\frac{(b c-a d)^3 \left (2 a b c^3+3 a^2 d c^2-3 b^2 d c^2-6 a b d^2 c-a^2 d^3+b^2 d^3+\frac{\sqrt{-b^2} \left (-\left (c^3-3 c d^2\right ) a^2+b \left (6 c^2 d-2 d^3\right ) a+b^2 c \left (c^2-3 d^2\right )\right )}{b}\right ) \log \left (b \tan (e+f x)+\sqrt{-b^2}\right ) b}{\left (a^2+b^2\right ) \left (c^2+d^2\right )}-\frac{2 \left (a^2+b^2\right ) d^3 \left (10 b^2 c^4-10 a b d c^3+3 a^2 d^2 c^2+9 b^2 d^2 c^2-2 a b d^3 c-a^2 d^4+3 b^2 d^4\right ) \log (c+d \tan (e+f x)) b}{(b c-a d) \left (c^2+d^2\right )}}{b (a d-b c) \left (c^2+d^2\right ) f}}{2 (a d-b c) \left (c^2+d^2\right )}}{\left (a^2+b^2\right ) (b c-a d)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[1/((a + b*Tan[e + f*x])^2*(c + d*Tan[e + f*x])^3),x]

[Out]

-(b^2/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d)*f*(a + b*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x])^2)) - (-(d^2*(-(a*b*c) + a^2*d + 3*
b^2*d) - c*(-3*b^2*c*d + b*d*(b*c - a*d)))/(2*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan[e + f*x])^2) - (-(((b*(b
*c - a*d)^3*(2*a*b*c^3 + 3*a^2*c^2*d - 3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 - a^2*d^3 + b^2*d^3 + (b*(b^2*c*(c^2 - 3*d^2)
- a^2*(c^3 - 3*c*d^2) + a*b*(6*c^2*d - 2*d^3)))/Sqrt[-b^2])*Log[Sqrt[-b^2] - b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(c
^2 + d^2)) - (2*b^5*(2*a*b*c - 5*a^2*d - 3*b^2*d)*(c^2 + d^2)^2*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/((a^2 + b^2)*(b*c - a
*d)) + (b*(b*c - a*d)^3*(2*a*b*c^3 + 3*a^2*c^2*d - 3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 - a^2*d^3 + b^2*d^3 + (Sqrt[-b^2]
*(b^2*c*(c^2 - 3*d^2) - a^2*(c^3 - 3*c*d^2) + a*b*(6*c^2*d - 2*d^3)))/b)*Log[Sqrt[-b^2] + b*Tan[e + f*x]])/((a
^2 + b^2)*(c^2 + d^2)) - (2*b*(a^2 + b^2)*d^3*(10*b^2*c^4 - 10*a*b*c^3*d + 3*a^2*c^2*d^2 + 9*b^2*c^2*d^2 - 2*a
*b*c*d^3 - a^2*d^4 + 3*b^2*d^4)*Log[c + d*Tan[e + f*x]])/((b*c - a*d)*(c^2 + d^2)))/(b*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d
^2)*f)) - (2*d^2*(a*b*d^2*(2*b*c + a*d) + ((a*b*c - a^2*d - 3*b^2*d)*(2*a*c*d - 2*b*(c^2 + d^2)))/2) - c*(2*d*
(b*c - a*d)^2*(b*c + a*d) - 2*b*c*d*(a^2*d^2 + b^2*(2*c^2 + 3*d^2))))/((-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)*f*(c + d*Tan
[e + f*x])))/(2*(-(b*c) + a*d)*(c^2 + d^2)))/((a^2 + b^2)*(b*c - a*d))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.072, size = 1079, normalized size = 2.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x)

[Out]

-10/f*d^4/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*a*b*c^3-6/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a*
b*c^2*d+3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a*b*c*d^2-2/f*d^6/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*
x+e))*a*b*c-1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*b^2*d^3+1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*
x+e))*a^2*c^3-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c^3-1/2/f*d^3/(a*d-b*c)^2/(c^2+d^2)/(c+d*tan(
f*x+e))^2+1/f*b^4/(a^2+b^2)/(a*d-b*c)^3/(a+b*tan(f*x+e))+2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*a*b*d^
3+3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c*d^2-2/f*d^4/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*a*
c+4/f*d^3/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*b*c^2-5/f*b^4/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*a^
2*d+2/f*b^5/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*a*c+3/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*
a^2*c^2-3/f*b^6/(a^2+b^2)^2/(a*d-b*c)^4*ln(a+b*tan(f*x+e))*d+1/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*
a^2*d^3+10/f*d^3/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*b^2*c^4+9/f*d^5/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan
(f*x+e))*b^2*c^2-3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*a^2*c^2*d-1/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+t
an(f*x+e)^2)*a*b*c^3+3/2/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ln(1+tan(f*x+e)^2)*b^2*c^2*d-3/f/(a^2+b^2)^2/(c^2+d^2)^3*ar
ctan(tan(f*x+e))*a^2*c*d^2-1/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*a^2+3/f*d^7/(a*d-b*c)^4/(c^2+d^2
)^3*ln(c+d*tan(f*x+e))*b^2+2/f*d^5/(a*d-b*c)^3/(c^2+d^2)^2/(c+d*tan(f*x+e))*b

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.4617, size = 2496, normalized size = 5.46 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(2*(6*a*b*c^2*d - 2*a*b*d^3 - (a^2 - b^2)*c^3 + 3*(a^2 - b^2)*c*d^2)*(f*x + e)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c
^6 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^2 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2*d^4 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^6) - 2*
(2*a*b^5*c - (5*a^2*b^4 + 3*b^6)*d)*log(b*tan(f*x + e) + a)/((a^4*b^4 + 2*a^2*b^6 + b^8)*c^4 - 4*(a^5*b^3 + 2*
a^3*b^5 + a*b^7)*c^3*d + 6*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2*d^2 - 4*(a^7*b + 2*a^5*b^3 + a^3*b^5)*c*d^3 + (
a^8 + 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*d^4) - 2*(10*b^2*c^4*d^3 - 10*a*b*c^3*d^4 - 2*a*b*c*d^6 + 3*(a^2 + 3*b^2)*c^2*d^5 -
(a^2 - 3*b^2)*d^7)*log(d*tan(f*x + e) + c)/(b^4*c^10 - 4*a*b^3*c^9*d - 4*a^3*b*c*d^9 + a^4*d^10 + 3*(2*a^2*b^
2 + b^4)*c^8*d^2 - 4*(a^3*b + 3*a*b^3)*c^7*d^3 + (a^4 + 18*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^6*d^4 - 12*(a^3*b + a*b^3)*c^5*d
^5 + (3*a^4 + 18*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^6 - 4*(3*a^3*b + a*b^3)*c^3*d^7 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2)*c^2*d^8) + (2*a*b*
c^3 - 6*a*b*c*d^2 + 3*(a^2 - b^2)*c^2*d - (a^2 - b^2)*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^
6 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^4*d^2 + 3*(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2*d^4 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^6) + (2*
b^4*c^6 + 4*b^4*c^4*d^2 + 9*(a^3*b + a*b^3)*c^3*d^3 - (5*a^4 + 5*a^2*b^2 - 2*b^4)*c^2*d^4 + 5*(a^3*b + a*b^3)*
c*d^5 - (a^4 + a^2*b^2)*d^6 + 2*(b^4*c^4*d^2 + 2*(2*a^2*b^2 + 3*b^4)*c^2*d^4 - 2*(a^3*b + a*b^3)*c*d^5 + (2*a^
2*b^2 + 3*b^4)*d^6)*tan(f*x + e)^2 + (4*b^4*c^5*d + (9*a^2*b^2 + 17*b^4)*c^3*d^3 + 3*(a^3*b + a*b^3)*c^2*d^4 -
(4*a^4 - a^2*b^2 - 9*b^4)*c*d^5 + 3*(a^3*b + a*b^3)*d^6)*tan(f*x + e))/((a^3*b^3 + a*b^5)*c^9 - 3*(a^4*b^2 +
a^2*b^4)*c^8*d + (3*a^5*b + 5*a^3*b^3 + 2*a*b^5)*c^7*d^2 - (a^6 + 7*a^4*b^2 + 6*a^2*b^4)*c^6*d^3 + (6*a^5*b +
7*a^3*b^3 + a*b^5)*c^5*d^4 - (2*a^6 + 5*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4)*c^4*d^5 + 3*(a^5*b + a^3*b^3)*c^3*d^6 - (a^6 + a^
4*b^2)*c^2*d^7 + ((a^2*b^4 + b^6)*c^7*d^2 - 3*(a^3*b^3 + a*b^5)*c^6*d^3 + (3*a^4*b^2 + 5*a^2*b^4 + 2*b^6)*c^5*
d^4 - (a^5*b + 7*a^3*b^3 + 6*a*b^5)*c^4*d^5 + (6*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + b^6)*c^3*d^6 - (2*a^5*b + 5*a^3*b^3 + 3
*a*b^5)*c^2*d^7 + 3*(a^4*b^2 + a^2*b^4)*c*d^8 - (a^5*b + a^3*b^3)*d^9)*tan(f*x + e)^3 + (2*(a^2*b^4 + b^6)*c^8
*d - 5*(a^3*b^3 + a*b^5)*c^7*d^2 + (3*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 + 4*b^6)*c^6*d^3 + (a^5*b - 9*a^3*b^3 - 10*a*b^5)*c^
5*d^4 - (a^6 - 5*a^4*b^2 - 8*a^2*b^4 - 2*b^6)*c^4*d^5 + (2*a^5*b - 3*a^3*b^3 - 5*a*b^5)*c^3*d^6 - (2*a^6 - a^4
*b^2 - 3*a^2*b^4)*c^2*d^7 + (a^5*b + a^3*b^3)*c*d^8 - (a^6 + a^4*b^2)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + ((a^2*b^4 + b^6)*c
^9 - (a^3*b^3 + a*b^5)*c^8*d - (3*a^4*b^2 + a^2*b^4 - 2*b^6)*c^7*d^2 + (5*a^5*b + 3*a^3*b^3 - 2*a*b^5)*c^6*d^3
- (2*a^6 + 8*a^4*b^2 + 5*a^2*b^4 - b^6)*c^5*d^4 + (10*a^5*b + 9*a^3*b^3 - a*b^5)*c^4*d^5 - (4*a^6 + 7*a^4*b^2
+ 3*a^2*b^4)*c^3*d^6 + 5*(a^5*b + a^3*b^3)*c^2*d^7 - 2*(a^6 + a^4*b^2)*c*d^8)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 28.9885, size = 9711, normalized size = 21.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b^7*c^9 - 2*a*b^6*c^8*d + 6*b^7*c^7*d^2 - 6*a*b^6*c^6*d^3 + 6*b^7*c^5*d^4 + (11*a^5*b^2 + 22*a^3*b^4 +
5*a*b^6)*c^4*d^5 - 2*(9*a^6*b + 18*a^4*b^3 + 9*a^2*b^5 - b^7)*c^3*d^6 + (7*a^7 + 19*a^5*b^2 + 17*a^3*b^4 + 3*
a*b^6)*c^2*d^7 - 6*(a^6*b + 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c*d^8 + (a^7 + 2*a^5*b^2 + a^3*b^4)*d^9 - (2*a*b^6*c^7*d^2 -
2*a^2*b^5*c^6*d^3 + 6*a*b^6*c^5*d^4 + 3*(3*a^4*b^3 + 4*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^4*d^5 - 2*(7*a^5*b^2 + 14*a^3*b^4 +
4*a*b^6)*c^3*d^6 + (5*a^6*b + 13*a^4*b^3 + 5*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^2*d^7 - 2*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4)*c*d^8 - (a^6*b
+ 2*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5)*d^9 + 2*(6*a^5*b^2*c^2*d^7 + 2*a^5*b^2*d^9 + (a^2*b^5 - b^7)*c^7*d^2 - 2*(2*a^3*b^4
+ a*b^6)*c^6*d^3 + 3*(2*a^4*b^3 + 5*a^2*b^5 + b^7)*c^5*d^4 - 2*(2*a^5*b^2 + 10*a^3*b^4 + 5*a*b^6)*c^4*d^5 + (a
^6*b + 5*a^4*b^3 + 10*a^2*b^5)*c^3*d^6 - (3*a^6*b + 5*a^4*b^3)*c*d^8)*f*x)*tan(f*x + e)^3 - 2*(6*a^6*b*c^4*d^5
+ 2*a^6*b*c^2*d^7 + (a^3*b^4 - a*b^6)*c^9 - 2*(2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^8*d + 3*(2*a^5*b^2 + 5*a^3*b^4 + a*b^6)
*c^7*d^2 - 2*(2*a^6*b + 10*a^4*b^3 + 5*a^2*b^5)*c^6*d^3 + (a^7 + 5*a^5*b^2 + 10*a^3*b^4)*c^5*d^4 - (3*a^7 + 5*
a^5*b^2)*c^3*d^6)*f*x - (4*a*b^6*c^8*d + 14*a*b^6*c^6*d^3 - 2*(2*a^2*b^5 + b^7)*c^7*d^2 + 2*(5*a^4*b^3 + 4*a^2
*b^5 + 2*b^7)*c^5*d^4 - (7*a^5*b^2 + 14*a^3*b^4 - 11*a*b^6)*c^4*d^5 - 2*(4*a^6*b + 11*a^4*b^3 + 16*a^2*b^5 + 6
*b^7)*c^3*d^6 + 5*(a^7 + 5*a^5*b^2 + 7*a^3*b^4 + 5*a*b^6)*c^2*d^7 - 2*(4*a^6*b + 10*a^4*b^3 + 10*a^2*b^5 + 3*b
^7)*c*d^8 - (a^7 - 2*a^5*b^2 - 7*a^3*b^4 - 6*a*b^6)*d^9 - 2*(10*a^4*b^3*c^2*d^7 - 2*a^6*b*d^9 - 2*(a^2*b^5 - b
^7)*c^8*d + (7*a^3*b^4 + 5*a*b^6)*c^7*d^2 - 2*(4*a^4*b^3 + 14*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^6*d^3 + (2*a^5*b^2 + 25*a^3*b
^4 + 17*a*b^6)*c^5*d^4 + 2*(a^6*b + 5*a^4*b^3 - 5*a^2*b^5)*c^4*d^5 - (a^7 + 17*a^5*b^2 + 10*a^3*b^4)*c^3*d^6 +
(3*a^7 + a^5*b^2)*c*d^8)*f*x)*tan(f*x + e)^2 - (2*a^2*b^5*c^9 + 6*a^2*b^5*c^7*d^2 + 6*a^2*b^5*c^5*d^4 + 2*a^2
*b^5*c^3*d^6 - (5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*c^8*d - 3*(5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*c^6*d^3 - 3*(5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*c^4*d^5
- (5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*c^2*d^7 + (2*a*b^6*c^7*d^2 + 6*a*b^6*c^5*d^4 + 6*a*b^6*c^3*d^6 + 2*a*b^6*c*d^8 - (5*a
^2*b^5 + 3*b^7)*c^6*d^3 - 3*(5*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^4*d^5 - 3*(5*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^2*d^7 - (5*a^2*b^5 + 3*b^7)*
d^9)*tan(f*x + e)^3 + (4*a*b^6*c^8*d - 2*(4*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^7*d^2 - (5*a^3*b^4 - 9*a*b^6)*c^6*d^3 - 6*(4*a^
2*b^5 + 3*b^7)*c^5*d^4 - 3*(5*a^3*b^4 - a*b^6)*c^4*d^5 - 6*(4*a^2*b^5 + 3*b^7)*c^3*d^6 - 5*(3*a^3*b^4 + a*b^6)
*c^2*d^7 - 2*(4*a^2*b^5 + 3*b^7)*c*d^8 - (5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + (2*a*b^6*c^9 - 10*a^3*b^4
*c^7*d^2 - (a^2*b^5 + 3*b^7)*c^8*d - 3*(a^2*b^5 + 3*b^7)*c^6*d^3 - 6*(5*a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^5*d^4 - 3*(a^2*b^
5 + 3*b^7)*c^4*d^5 - 2*(15*a^3*b^4 + 8*a*b^6)*c^3*d^6 - (a^2*b^5 + 3*b^7)*c^2*d^7 - 2*(5*a^3*b^4 + 3*a*b^6)*c*
d^8)*tan(f*x + e))*log((b^2*tan(f*x + e)^2 + 2*a*b*tan(f*x + e) + a^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (10*(a^5*b^2 +
2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^6*d^3 - 10*(a^6*b + 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^5*d^4 + 3*(a^7 + 5*a^5*b^2 + 7*a^3*b^4 + 3*a*b
^6)*c^4*d^5 - 2*(a^6*b + 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^3*d^6 - (a^7 - a^5*b^2 - 5*a^3*b^4 - 3*a*b^6)*c^2*d^7 + (10*(a
^4*b^3 + 2*a^2*b^5 + b^7)*c^4*d^5 - 10*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^3*d^6 + 3*(a^6*b + 5*a^4*b^3 + 7*a^2*b^
5 + 3*b^7)*c^2*d^7 - 2*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c*d^8 - (a^6*b - a^4*b^3 - 5*a^2*b^5 - 3*b^7)*d^9)*tan(f*
x + e)^3 + (20*(a^4*b^3 + 2*a^2*b^5 + b^7)*c^5*d^4 - 10*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^4*d^5 - 2*(2*a^6*b - 5
*a^4*b^3 - 16*a^2*b^5 - 9*b^7)*c^3*d^6 + (3*a^7 + 11*a^5*b^2 + 13*a^3*b^4 + 5*a*b^6)*c^2*d^7 - 2*(2*a^6*b + a^
4*b^3 - 4*a^2*b^5 - 3*b^7)*c*d^8 - (a^7 - a^5*b^2 - 5*a^3*b^4 - 3*a*b^6)*d^9)*tan(f*x + e)^2 + (10*(a^4*b^3 +
2*a^2*b^5 + b^7)*c^6*d^3 + 10*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^5*d^4 - (17*a^6*b + 25*a^4*b^3 - a^2*b^5 - 9*b^7
)*c^4*d^5 + 2*(3*a^7 + 14*a^5*b^2 + 19*a^3*b^4 + 8*a*b^6)*c^3*d^6 - (5*a^6*b + 7*a^4*b^3 - a^2*b^5 - 3*b^7)*c^
2*d^7 - 2*(a^7 - a^5*b^2 - 5*a^3*b^4 - 3*a*b^6)*c*d^8)*tan(f*x + e))*log((d^2*tan(f*x + e)^2 + 2*c*d*tan(f*x +
e) + c^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - (2*a*b^6*c^9 + 10*a*b^6*c^7*d^2 - 2*(a^2*b^5 + 2*b^7)*c^8*d - 6*(a^2*b^5 +
2*b^7)*c^6*d^3 + 2*(5*a^5*b^2 + 10*a^3*b^4 + 14*a*b^6)*c^5*d^4 - (16*a^6*b + 43*a^4*b^3 + 44*a^2*b^5 + 23*b^7)
*c^4*d^5 + 2*(3*a^7 + 12*a^5*b^2 + 15*a^3*b^4 + 13*a*b^6)*c^3*d^6 + (5*a^6*b + 5*a^4*b^3 - 7*a^2*b^5 - 9*b^7)*
c^2*d^7 - 2*(3*a^7 + 5*a^5*b^2 + a^3*b^4 - 3*a*b^6)*c*d^8 + 3*(a^6*b + 2*a^4*b^3 + a^2*b^5)*d^9 + 2*(4*a^6*b*c
*d^8 + (a^2*b^5 - b^7)*c^9 - 2*(a^3*b^4 + 2*a*b^6)*c^8*d - (2*a^4*b^3 - 11*a^2*b^5 - 3*b^7)*c^7*d^2 + 2*(4*a^5
*b^2 + 5*a^3*b^4 - 2*a*b^6)*c^6*d^3 - (7*a^6*b + 35*a^4*b^3 + 10*a^2*b^5)*c^5*d^4 + 2*(a^7 + 8*a^5*b^2 + 10*a^
3*b^4)*c^4*d^5 + (9*a^6*b - 5*a^4*b^3)*c^3*d^6 - 2*(3*a^7 + 4*a^5*b^2)*c^2*d^7)*f*x)*tan(f*x + e))/(((a^4*b^5
+ 2*a^2*b^7 + b^9)*c^10*d^2 - 4*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^9*d^3 + 3*(2*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + 4*a^2*b^7 +
b^9)*c^8*d^4 - 4*(a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 7*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c^7*d^5 + (a^8*b + 20*a^6*b^3 + 40*a^4*b^5 + 24*
a^2*b^7 + 3*b^9)*c^6*d^6 - 12*(a^7*b^2 + 3*a^5*b^4 + 3*a^3*b^6 + a*b^8)*c^5*d^7 + (3*a^8*b + 24*a^6*b^3 + 40*a
^4*b^5 + 20*a^2*b^7 + b^9)*c^4*d^8 - 4*(3*a^7*b^2 + 7*a^5*b^4 + 5*a^3*b^6 + a*b^8)*c^3*d^9 + 3*(a^8*b + 4*a^6*
b^3 + 5*a^4*b^5 + 2*a^2*b^7)*c^2*d^10 - 4*(a^7*b^2 + 2*a^5*b^4 + a^3*b^6)*c*d^11 + (a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^
5)*d^12)*f*tan(f*x + e)^3 + (2*(a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^11*d - 7*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^10*d^2 +
2*(4*a^6*b^3 + 11*a^4*b^5 + 10*a^2*b^7 + 3*b^9)*c^9*d^3 - (2*a^7*b^2 + 25*a^5*b^4 + 44*a^3*b^6 + 21*a*b^8)*c^
8*d^4 - 2*(a^8*b - 10*a^6*b^3 - 26*a^4*b^5 - 18*a^2*b^7 - 3*b^9)*c^7*d^5 + (a^9 - 4*a^7*b^2 - 32*a^5*b^4 - 48*
a^3*b^6 - 21*a*b^8)*c^6*d^6 - 2*(3*a^8*b - 6*a^6*b^3 - 22*a^4*b^5 - 14*a^2*b^7 - b^9)*c^5*d^7 + (3*a^9 - 16*a^
5*b^4 - 20*a^3*b^6 - 7*a*b^8)*c^4*d^8 - 2*(3*a^8*b + 2*a^6*b^3 - 5*a^4*b^5 - 4*a^2*b^7)*c^3*d^9 + (3*a^9 + 4*a
^7*b^2 - a^5*b^4 - 2*a^3*b^6)*c^2*d^10 - 2*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c*d^11 + (a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*
d^12)*f*tan(f*x + e)^2 + ((a^4*b^5 + 2*a^2*b^7 + b^9)*c^12 - 2*(a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^11*d - (2*a^6*b
^3 + a^4*b^5 - 4*a^2*b^7 - 3*b^9)*c^10*d^2 + 2*(4*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 - 2*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^9*d^3 - (7*a^8*
b + 20*a^6*b^3 + 16*a^4*b^5 - 3*b^9)*c^8*d^4 + 2*(a^9 + 14*a^7*b^2 + 22*a^5*b^4 + 6*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*c^7*d^5
- (21*a^8*b + 48*a^6*b^3 + 32*a^4*b^5 + 4*a^2*b^7 - b^9)*c^6*d^6 + 2*(3*a^9 + 18*a^7*b^2 + 26*a^5*b^4 + 10*a^
3*b^6 - a*b^8)*c^5*d^7 - (21*a^8*b + 44*a^6*b^3 + 25*a^4*b^5 + 2*a^2*b^7)*c^4*d^8 + 2*(3*a^9 + 10*a^7*b^2 + 11
*a^5*b^4 + 4*a^3*b^6)*c^3*d^9 - 7*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c^2*d^10 + 2*(a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*c*d^1
1)*f*tan(f*x + e) + ((a^5*b^4 + 2*a^3*b^6 + a*b^8)*c^12 - 4*(a^6*b^3 + 2*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^11*d + 3*(2*a^7*
b^2 + 5*a^5*b^4 + 4*a^3*b^6 + a*b^8)*c^10*d^2 - 4*(a^8*b + 5*a^6*b^3 + 7*a^4*b^5 + 3*a^2*b^7)*c^9*d^3 + (a^9 +
20*a^7*b^2 + 40*a^5*b^4 + 24*a^3*b^6 + 3*a*b^8)*c^8*d^4 - 12*(a^8*b + 3*a^6*b^3 + 3*a^4*b^5 + a^2*b^7)*c^7*d^
5 + (3*a^9 + 24*a^7*b^2 + 40*a^5*b^4 + 20*a^3*b^6 + a*b^8)*c^6*d^6 - 4*(3*a^8*b + 7*a^6*b^3 + 5*a^4*b^5 + a^2*
b^7)*c^5*d^7 + 3*(a^9 + 4*a^7*b^2 + 5*a^5*b^4 + 2*a^3*b^6)*c^4*d^8 - 4*(a^8*b + 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)*c^3*d^9 +
(a^9 + 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*c^2*d^10)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))**2/(c+d*tan(f*x+e))**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.7253, size = 2373, normalized size = 5.19 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(a^2*c^3 - b^2*c^3 - 6*a*b*c^2*d - 3*a^2*c*d^2 + 3*b^2*c*d^2 + 2*a*b*d^3)*(f*x + e)/(a^4*c^6 + 2*a^2*b^
2*c^6 + b^4*c^6 + 3*a^4*c^4*d^2 + 6*a^2*b^2*c^4*d^2 + 3*b^4*c^4*d^2 + 3*a^4*c^2*d^4 + 6*a^2*b^2*c^2*d^4 + 3*b^
4*c^2*d^4 + a^4*d^6 + 2*a^2*b^2*d^6 + b^4*d^6) - (2*a*b*c^3 + 3*a^2*c^2*d - 3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 - a^2*d^
3 + b^2*d^3)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4*c^6 + 2*a^2*b^2*c^6 + b^4*c^6 + 3*a^4*c^4*d^2 + 6*a^2*b^2*c^4*d^2 +
3*b^4*c^4*d^2 + 3*a^4*c^2*d^4 + 6*a^2*b^2*c^2*d^4 + 3*b^4*c^2*d^4 + a^4*d^6 + 2*a^2*b^2*d^6 + b^4*d^6) + 2*(2*
a*b^6*c - 5*a^2*b^5*d - 3*b^7*d)*log(abs(b*tan(f*x + e) + a))/(a^4*b^5*c^4 + 2*a^2*b^7*c^4 + b^9*c^4 - 4*a^5*b
^4*c^3*d - 8*a^3*b^6*c^3*d - 4*a*b^8*c^3*d + 6*a^6*b^3*c^2*d^2 + 12*a^4*b^5*c^2*d^2 + 6*a^2*b^7*c^2*d^2 - 4*a^
7*b^2*c*d^3 - 8*a^5*b^4*c*d^3 - 4*a^3*b^6*c*d^3 + a^8*b*d^4 + 2*a^6*b^3*d^4 + a^4*b^5*d^4) + 2*(10*b^2*c^4*d^4
- 10*a*b*c^3*d^5 + 3*a^2*c^2*d^6 + 9*b^2*c^2*d^6 - 2*a*b*c*d^7 - a^2*d^8 + 3*b^2*d^8)*log(abs(d*tan(f*x + e)
+ c))/(b^4*c^10*d - 4*a*b^3*c^9*d^2 + 6*a^2*b^2*c^8*d^3 + 3*b^4*c^8*d^3 - 4*a^3*b*c^7*d^4 - 12*a*b^3*c^7*d^4 +
a^4*c^6*d^5 + 18*a^2*b^2*c^6*d^5 + 3*b^4*c^6*d^5 - 12*a^3*b*c^5*d^6 - 12*a*b^3*c^5*d^6 + 3*a^4*c^4*d^7 + 18*a
^2*b^2*c^4*d^7 + b^4*c^4*d^7 - 12*a^3*b*c^3*d^8 - 4*a*b^3*c^3*d^8 + 3*a^4*c^2*d^9 + 6*a^2*b^2*c^2*d^9 - 4*a^3*
b*c*d^10 + a^4*d^11) - 2*(2*a*b^6*c*tan(f*x + e) - 5*a^2*b^5*d*tan(f*x + e) - 3*b^7*d*tan(f*x + e) + 3*a^2*b^5
*c + b^7*c - 6*a^3*b^4*d - 4*a*b^6*d)/((a^4*b^4*c^4 + 2*a^2*b^6*c^4 + b^8*c^4 - 4*a^5*b^3*c^3*d - 8*a^3*b^5*c^
3*d - 4*a*b^7*c^3*d + 6*a^6*b^2*c^2*d^2 + 12*a^4*b^4*c^2*d^2 + 6*a^2*b^6*c^2*d^2 - 4*a^7*b*c*d^3 - 8*a^5*b^3*c
*d^3 - 4*a^3*b^5*c*d^3 + a^8*d^4 + 2*a^6*b^2*d^4 + a^4*b^4*d^4)*(b*tan(f*x + e) + a)) - (30*b^2*c^4*d^5*tan(f*
x + e)^2 - 30*a*b*c^3*d^6*tan(f*x + e)^2 + 9*a^2*c^2*d^7*tan(f*x + e)^2 + 27*b^2*c^2*d^7*tan(f*x + e)^2 - 6*a*
b*c*d^8*tan(f*x + e)^2 - 3*a^2*d^9*tan(f*x + e)^2 + 9*b^2*d^9*tan(f*x + e)^2 + 68*b^2*c^5*d^4*tan(f*x + e) - 7
2*a*b*c^4*d^5*tan(f*x + e) + 22*a^2*c^3*d^6*tan(f*x + e) + 66*b^2*c^3*d^6*tan(f*x + e) - 28*a*b*c^2*d^7*tan(f*
x + e) - 2*a^2*c*d^8*tan(f*x + e) + 22*b^2*c*d^8*tan(f*x + e) - 4*a*b*d^9*tan(f*x + e) + 39*b^2*c^6*d^3 - 44*a
*b*c^5*d^4 + 14*a^2*c^4*d^5 + 41*b^2*c^4*d^5 - 26*a*b*c^3*d^6 + 3*a^2*c^2*d^7 + 14*b^2*c^2*d^7 - 6*a*b*c*d^8 +
a^2*d^9)/((b^4*c^10 - 4*a*b^3*c^9*d + 6*a^2*b^2*c^8*d^2 + 3*b^4*c^8*d^2 - 4*a^3*b*c^7*d^3 - 12*a*b^3*c^7*d^3
+ a^4*c^6*d^4 + 18*a^2*b^2*c^6*d^4 + 3*b^4*c^6*d^4 - 12*a^3*b*c^5*d^5 - 12*a*b^3*c^5*d^5 + 3*a^4*c^4*d^6 + 18*
a^2*b^2*c^4*d^6 + b^4*c^4*d^6 - 12*a^3*b*c^3*d^7 - 4*a*b^3*c^3*d^7 + 3*a^4*c^2*d^8 + 6*a^2*b^2*c^2*d^8 - 4*a^3
*b*c*d^9 + a^4*d^10)*(d*tan(f*x + e) + c)^2))/f